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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 1c

Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

Onde R = 1,2 × 0,1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ 1 2 ∫ 0 1 1 x + y d x   d y

Para resolver ela, primeiro precisamos integrar em relação a x e depois em relação a y (ou o contrário!) da seguinte forma:

Obs: Se quiser integrar primeiro em relação a y , basta mudar as integrais da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ 1 2 1 x + y d y   d x

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim,primeiro integrando em relação a x , temos:

∫ 1 2 ∫ 0 1 1 x + y d x   d y ∴

Fazendo u = x + y ∴ d u = d x .

= ∫ 1 2 ∫ 0 1 1 u d u   d y ∴

= ∫ 1 2 ln ⁡ x + y 1 0 d y ∴

= ∫ 1 2 ln ⁡ y + 1 - ln ⁡ ( y ) d y ∴

Passo 3

Agora, integrando em relação a y , temos:

= ∫ 1 2 ln ⁡ y + 1 d y - ∫ 1 2 ln ⁡ ( y ) d y ∴

Fazendo u = y + 1 ∴ d u = d y . Para primeira integral, temos:

= ∫ 1 2 ln ⁡ u d u - ∫ 1 2 ln ⁡ ( y ) d y

Para resolver a integral do tipo ∫ ln ⁡ x d x aplicamos a integração por partes:

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1   d x ∴

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x

Assim, fazendo a integral por partes para onde paramos, temos:

∫ 1 2 ln ⁡ u d u - ∫ 1 2 ln ⁡ y d y = u ln ⁡ u - u - y ln ⁡ y - y ∴

∫ 1 2 ln ⁡ u d u - ∫ 1 2 ln ⁡ y d y = y + 1 ln ⁡ y + 1 - y + 1 - y ln ⁡ y - y 1 0 ∴

= 3 ln ⁡ ( 3 ) - 4 ln ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 1 2 ∫ 0 1 1 x + y d x   d y = 3 ln ⁡ ( 3 ) - 4 ln ⁡ 2

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