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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1c

Exercício 1. Calcule

(c) ∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y d x d y

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de 1 + 4 x y com x variando de 0 a 1 e y variando de 1 a 3 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y d x d y

Integrando com relação a x pelo método de integração polinomial...

∫ 1 + 4 x y d x = x + 4 x 1 + 1 1 + 1 y = x + 2 x 2 y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 1 + 4 x y d x = 1 + 2 1 2 y - 0 + 2 0 2 y

∫ 0 1 1 + 4 x y d x = 1 + 2 y

Integrando o resultado em função de y

∫ 1 + 2 y d y = y + 2 y 1 + 1 1 + 1

∫ 1 + 2 y d y = y + y 2

Aplicando os limites de integração

∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y d x d y = ∫ 1 3 1 + 2 y d y = 3 + 3 2 - 1 + 1 2

∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y d x d y = 10

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y d x d y = 10

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