Suponha que uma lâmina com densidade ocupe a região do plano . Calcule a massa total sabendo que é a região triangular de vértices e a densidade em cada ponto é igual à distância de ao eixo
Passo 1
Sabemos, pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, que podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:
Portanto, para resolver esse problema, vamos precisar determinar os limites de integração da nossa região ! Depois é só jogar na integral.
Vamos lá então, o exercício diz que a nossa região é um triângulo com os vértices certo? Mas isso não nos diz muito sobre os limites de integração, vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:
Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo , o que ele está nos falando é que
Portanto, no final das contas, queremos calcular
Passo 2
Agora que está tudo mais claro, vamos desenvolver o nosso problema. No nosso gráfico temos três retas delimitando a região , duas são mais fáceis de visualizar:
A terceira dá pra descobrir qual é! Sabemos que ela passa pelos pontos e ,né? Então é só usar a equação de qualquer reta:
No ponto (0,0):
No ponto (3,5):
Logo, substituindo e na equação original:
Passo 3
Para o nosso caso em especial não faz tanta diferença determinar os limites de integração como tipo I ou tipo II, vamos fazer aqui então pelo tipo I.
Vendo o gráfico, concluímos que os limites de integração são
Passo 4
Substituindo os valores calculados na integral temos
Passo 5
Resolvendo a integral: