UFSCAR. Cálculo 3. Lista de Estudos – Integrais Duplas. Questão 1.
1 – Calcular:
Em que é a região delimitada por , .
Passo 1
Fala aí! Tudo belezinha por aí? Vamos dar uma olhada em como resolver essa questão? Vem comigo!
A primeira coisa que vamos fazer é tentar entender esse enunciado aí. O problema pediu pra gente calcular essa integral, que é uma integral dupla
E disse que é pra gente fazer isso na região delimitada por , . Mas o que isso quer dizer?
Bom, quando o problema diz isso pra gente, o que nós teremos que fazer é substituir os limites de integração pelos extremos do intervalo que foi dado. Cuidado aqui ao fazer isso, pois como temos duas integrais pra resolver, a ordem que nós vamos colocar os limites deverá respeitar a ordem de resolução da integral. Sempre de dentro pra fora. Ok?!
Então, substituindo os limites de integração ficamos com:
Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com e o da de dentro, com .
Agora vamos nos preocupar em resolver a integral e pra isso vamos utilizar o Teorema de Fubini, que diz que nós devemos fazer a integral de dentro, como se a de fora não existisse e depois, com o resultado da de dentro, fazer a integral de fora.
Passo 2
Vamos resolver a integral de dentro. Aqui devemos integrar em relação a ou seja, resolver a integral de dentro (tomando como constante).
Vou separar ela aqui pra gente focar melhor no que está fazendo.
Para resolver essa integral precisaremos fazer uma substituição simples, então vamos chamar:
E a integral será:
Voltando para
Agora vamos aplicar o principio fundamental do cálculo substituindo os limites de integração na função que acabamos de encontrar. Lembrando que integramos e , então a substituição será só em . Ok?!
Show!!! E esse é o resultado da integral de dentro. Agora devemos fazer a integração de fora usando esse resultado como nossa função.
Passo 3
Devemos, então, integrar em relação a , substituindo o valor que encontramos no passo 2.
Que pode ser escrita como:
E para cada uma das integrais acima, teremos que fazer uma substituição simples. Vamos começar com a primeira:
Fazendo
E a integral se torna
Voltando para , nossa integral se torna
De forma análoga para a segunda integral podemos fazer
Fazendo
E a integral se torna
Voltando para , nossa integral se torna
Juntando as duas integrais, ficamos com:
Maravilha!!! Agora basta aplicar os limites de integração, ficando com
E prontinho, encontramos o valor da nossa integral dupla.
Partiu próxima?!!!