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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1k

Exercício 1. Calcule

(k) ∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x y 2 x 2 + 1 com x variando de 0 a 1 e y variando de - 3 a 3 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y d x

Integrando com relação a y pelo método de integração polinomial...

∫ x y 2 x 2 + 1 d y = x x 2 + 1 y 2 + 1 2 + 1

∫ x y 2 x 2 + 1 d y = x y 3 3 x 2 + 1

Aplicando os limites de integração...

∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y = x 3 3 3 x 2 + 1 - x - 3 3 3 x 2 + 1

∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y = 18 x x 2 + 1

Integrando o resultado em função de x pelo método de substituição...

∫ 18 x x 2 + 1 d x = 18 ∫ 1 2 u d u = 9 ln ⁡ x 2 + 1

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y d x = ∫ 0 1 18 x x 2 + 1 d x = 9 ln ⁡ 1 2 + 1 - 9 ln ⁡ 0 2 + 1

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y d x = 9 ln ⁡ 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y d x = 9 ln ⁡ 2

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