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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas Professora Nazaré Bezerra - Lista de Exercícios 12, Questão 4b

Calcule as integrais a seguir

∫ ∫ Ω 3 x y - s i n ( x + y ) d A ;   Ω   =   [ - π , π ] × [ 0 , π / 2 ]

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma para calcular integral dupla.

∫ ∫ Ω 3 x y - s i n ( x + y ) d A ;   Ω   =   [ - π , π ] × [ 0 , π / 2 ]

parece complicado, mas é bem simples. Já temos o nosso domínio de integração que

Ω   =   [ - π , π ] × [ 0 , π / 2 ]

ou seja, temos que - π ≤ x ≤ π   e   0 ≤ y ≤ π / 2 d

Dessa forma, a integral fica

∫ ∫ Ω 3 x y - s i n ( x + y ) d A ;   Ω   =   [ - π , π ] × [ 0 , π / 2 ]

= ∫ 0 π / 2 ∫ - π π 3 x y - s i n ( x + y ) d x d y

ou seja, integramos primeiro em x e depois em y

Passo 2

Vamos começar fazendo a integral de dentro de

∫ 0 π / 2 ∫ - π π 3 x y - s i n ( x + y ) d x d y

integrando

∫ - π π 3 x y - s i n ( x + y ) d x

(ou seja, tratamos y como uma constante qualquer) Usando a linearidade da integral

∫ - π π 3 x y - s i n ( x + y ) d x = ∫ - π π 3 x y d x - ∫ - π π s i n ( x + y ) d x

fazendo a integral da esquerda, que é um polinômio em x , temos:

∫ - π π 3 x y d x = 3 x 2 y / 2 | x = π x = - π

calculando, obtemos

= 0  

🙂

Agora, vamos calcular a integral da direita

- ∫ - π π s i n ( x + y ) d x

Como estamos tratando y como constante, essa integral é o famoso cosseno

- ∫ - π π s i n ( x + y ) d x = c o s ( x + y ) | x = π x = - π

= c o s ( π + y ) - c o s ( - π + y )

mas esses cossenos são IGUAIS. logo

- ∫ - π π s i n ( x + y ) d x = 0

Isso vai fazer com que

∫ 0 π / 2 ∫ - π π 3 x y - s i n ( x + y ) d x d y = 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

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