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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1q

Exercício 1. Calcule

(q) ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de tan ⁡ x 1 + y 2 com x variando de 0 a π 3 e y variando de 0 a 1 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x

Integrando com relação a y pelo teorema fundamental do cálculo, temos...

∫ tan ⁡ x 1 + y 2 d y = tan ⁡ x ln ⁡ 1 + y 2 + y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y = tan ⁡ x ln ⁡ 1 + 1 2 2 + 1 2

∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y = tan ⁡ x ln ⁡ 3 4 + 1 2

∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y = tan ⁡ x ln ⁡ 3 + 1 2

Integrando o resultado em função de x pelo mesmo método...

∫ tan ⁡ x ln ⁡ 3 + 1 2 d x = - ln ⁡ cos ⁡ x ln ⁡ 3 + 1 2

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x = ∫ 0 π 3 tan ⁡ x ln ⁡ 3 + 1 2 d x = - ln ⁡ cos ⁡ π 3 ln ⁡ 3 + 1 2 - - ln ⁡ cos ⁡ 0 ln ⁡ 3 + 1 2

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x = - ln ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 + 1 2 - - ln ⁡ 1 ln ⁡ 3 + 1 2

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x = - ln ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 + 1 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x = - ln ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 + 1 2

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