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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1j

Exercício 1. Calcule

(j) ∫ 0 3 ∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de 6 x 2 y 3 - 5 y 4 com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 3 ∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y d x

Integrando com relação a y pelo método de integração polinomial...

∫ 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y = 6 x 2 y 3 + 1 3 + 1 - 5 y 4 + 1 4 + 1

∫ 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y = 6 x 2 y 4 4 - y 5

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y = 6 x 2 1 4 4 - 1 5 - 6 x 2 0 4 4 - 0 5

∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y = 6 x 2 4 - 1

Integrando o resultado em função de x pelo mesmo método

∫ 6 x 2 4 - 1 d x = 6 4 x 2 + 1 2 + 1 - 1 x

∫ 6 x 2 4 - 1 d x = x 3 2 - x

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 3 ∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y d x = ∫ 0 3 6 x 2 4 - 1 d x = 3 3 2 - 3 - 0 3 2 - 0

∫ 0 3 ∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y d x = 21 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y d x = 21 2

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