Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

Onde R = {x, y : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ π/6}

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ 0 π 6 ∫ 1 4 x sin ⁡ y d x   d y

Para resolver ela, primeiro precisamos integrar em relação a x e depois em relação a y (ou o contrário!) da seguinte forma:

Obs: Se quiser integrar primeiro em relação a y , basta mudar as integrais da seguinte forma:

∫ 1 4 ∫ 0 π 6 x sin ⁡ y d y   d x

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, primeiro integrando em relação a x , temos:

∫ 0 π 6 ∫ 1 4 x sin ⁡ y d x d y ∴

= ∫ 0 π 6 sin ⁡ y ∫ 1 4 x   d x d y ∴

= ∫ 0 π 6 sin ⁡ y * x 2 2 4 1 d y ∴

= 15 2 ∫ 0 π 6 sin ⁡ y d y ∴

Agora, integrando em relação a y , temos:

= 15 2 - cos ⁡ y π 6 0 ∴

= 15 2 cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 6 ∴

= 15 2 2 - 3 2 ∴

= 30 - 15 3 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 π 6 ∫ 1 4 x sin ⁡ y d x   d y = 30 - 15 3 4

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