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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1g

Exercício 1. Calcule

(g) ∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de u - v 5 com u variando de 0 a 1 e v variando de 0 a 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v

Integrando com relação a u pelo método de substituição fazendo u - v = x e consequentemente d u = d x .

∫ u - v 5 d u = ∫ x 5 d x = x 6 6

Voltando x para u - v

∫ u - v 5 d u = u - v 6 6

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 u - v 5 d u = 1 - v 6 6 - - v 6 6

∫ 0 1 u - v 5 d u = 1 - v 6 - - v 6 6

Integrando o resultado em função de v pelo mesmo método

∫ 1 - v 6 - - v 6 6 d v = - 1 - v 7 - v 7 42

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v = ∫ 0 1 1 - v 6 - - v 6 6 d v = - 1 - 1 7 - 1 7 42 - - 1 - 0 7 - 0 7 42

∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v = - 1 42 + 1 42

∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v = 0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v = 0

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