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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1f

Exercício 1. Calcule

(f) ∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x y + y x com y variando de 1 a 2 e x variando de 1 a 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x

Integrando com relação a y pelo teorema fundamental do cálculo.

∫ x y + y x d y = x ln ⁡ y + 1 x y 1 + 1 1 + 1

∫ x y + y x d y = x ln ⁡ y + y 2 2 x

Aplicando os limites de integração...

∫ 1 2 x y + y x d y = x ln ⁡ 2 + 2 2 2 x - x ln ⁡ 1 + 1 2 2 x

∫ 1 2 x y + y x d y = x ln ⁡ 2 + 3 2 x

Integrando o resultado em função de x pelo mesmo método

∫ x ln ⁡ 2 + 3 2 x d x = x 1 + 1 1 + 1 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ x

∫ x ln ⁡ 2 + 3 2 x d x = x 2 2 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ x

Aplicando os limites de integração...

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x = ∫ 1 4 x ln ⁡ 2 + 3 2 x d x = 4 2 2 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 4 - 1 2 2 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 1

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x = 15 2 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 4 = 15 2 ln ⁡ 2 + 6 2 ln ⁡ 2

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x = 21 2 ln ⁡ 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x = 21 2 ln ⁡ 2

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