Exercício 1. Calcule

(e) ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x d y

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de 2 x + y 8 com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x d y

Integrando com relação a y pelo método de substituição fazendo 2 x + y = u e d x = d u 2

∫ 2 x + y 8 d x = ∫ u 8 2 d x

∫ u 8 d x = u 8 + 1 2 8 + 1 = u 9 18

Voltando u para 2 x + y

∫ 2 x + y 8 d x = 2 x + y 9 18

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 2 x + y 8 d x = 2 1 + y 9 18 - 2 0 + y 9 18

∫ 0 1 2 x + y 8 d x = 2 + y 9 - y 9 18

Integrando o resultado em função de y pelo mesmo método

∫ 2 + y 9 - y 9 18 d y = 2 + y 10 - y 10 180

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x d y = ∫ 0 2 2 + y 9 - y 9 18 d y = 2 + 2 10 - 2 10 180 - 2 + 0 10 - 0 10 180

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x d y = 261632 45

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x d y = 261632 45

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