Exercício 1. Calcule

(h) ∫ 0 2 ∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ d r

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de r sin 2 ⁡ θ com θ variando de 0 a π e r variando de 0 a 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 2 ∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ d r

Integrando com relação a θ usando identidades trigonométricas

∫ r sin 2 ⁡ θ d θ = r 2 θ - sin ⁡ 2 θ 2

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ = r 2 π - sin ⁡ 2 π 2 - r 2 0 - sin ⁡ 2 0 2

∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ = r π 2

Integrando o resultado em função de r

∫ r π 2 d r = r 2 2 π 2

∫ r π 2 d r = π r 2 4

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 ∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ d r = ∫ 0 2 r π 2 d r = π 2 2 4 - π 0 2 4

∫ 0 2 ∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ d r = π

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ d r = π

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