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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 5c

Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

Onde D = x , y : 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3    

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x y   d x d y

Para resolver ela, primeiro precisamos integrar em relação à x e depois em relação a y (por conta dos limites de integração) da seguinte forma:

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x y   d x d y

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, primeiro integrando em relação a x , temos:

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x y   d x d y ∴

Fazendo u = x y ∴ d u = 1 y d x , temos:

= ∫ 1 2 ∫ y y 3 e u   y d u d y ∴

= ∫ 1 2 y e x y y 3 y d y ∴

= ∫ 1 2 y e y 3 y - e y y d y ∴

= ∫ 1 2 y e y 2 - e d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y , temos:

= ∫ 1 2 y e y 2 d y - ∫ 1 2 e y d y ∴

Resolvendo a segunda integral normalmente e a primeira integral por substituição, fazendo u = y 2 ∴ d u = 2 y   d y :

= ∫ 1 2 y e u 2 y d u - e y 2 2 2 1 ∴

= 1 2 e y 2 - e y 2 2 1 ∴

= e 4 - 4 e 2 ∴

= e 4 2 - 2 e

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 1 2 ∫ y y 3 e x y   d x d y = e 4 2 - 2 e

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