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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1a

Exercício 1. Calcule

(a) ∫ 1 4 ∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y d x

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de 2 x + 6 x 2 y com y variando de - 1 a 2 e x variando de 1 a 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 1 4 ∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y d x

Integrando com relação a y pelo método de integração polinomial...

∫ 2 x + 6 x 2 y d y = 2 x y + 6 x 2 y 1 + 1 1 + 1 = 2 x y + 3 x 2 y 2

Aplicando os limites de integração...

∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y = 2 x 2 + 3 x 2 2 2 - 2 x - 1 + 3 x 2 - 1 2

∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y = 4 x + 12 x 2 - - 2 x + 3 x 2

∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y = 9 x 2 + 6 x

Integrando o resultado em função de x

∫ 9 x 2 + 6 x d x = 9 x 2 + 1 2 + 1 + 6 x 1 + 1 1 + 1 = 3 x 3 + 3 x 2

∫ 9 x 2 + 6 x d x = 3 x 3 + x 2

Aplicando os limites de integração

∫ 1 4 ∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y d x = ∫ 1 4 9 x 2 + 6 x d x = 3 4 3 + 4 2 - 3 1 3 + 1 2

∫ 1 4 ∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y d x = 234

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 1 4 ∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y d x = 234

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