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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1b

Exercício 1. Calcule

(b) ∫ 1 2 ∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de 12 x y 2 - 8 x 3 com y variando de - 1 a 2 e x variando de 1 a 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 1 2 ∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y d x

Integrando com relação a y pelo método de integração polinomial...

∫ 12 x y 2 - 8 x 3 d y = 12 x y 2 + 1 2 + 1 - 8 x 3 y = 4 x y 3 - 8 x 3 y

Aplicando os limites de integração...

∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y = 4 x 2 3 - 8 x 3 2 - 4 x - 1 3 - 8 x 3 - 1

∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y = 32 x - 16 x 3 - - 4 x + 8 x 3

∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y = 3 6 x - 24 x 3

Integrando o resultado em função de x

∫ 36 x - 24 x 3 d x = 36 x 1 + 1 1 + 1 - 24 x 3 + 1 3 + 1

∫ 36 x - 24 x 3 d x = 18 x 2 - 6 x 4

Aplicando os limites de integração

∫ 1 2 ∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y d x = ∫ 1 2 36 x - 24 x 3 d x = 18 2 2 - 6 2 4 - 18 1 2 - 6 1 4

∫ 1 2 ∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y d x = - 36

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 1 2 ∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y d x = - 36

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