Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Ver Teoria
Exercício 941234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939596979899100

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 1b

Calcule:

b)

∫ ∫ x x 2 + y 2 d x   d y R

Onde R = 1,2 × 0,1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ x x 2 + y 2 d x   d y R

Onde R = 1,2 × 0,1 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 1 2 ∫ 0 1 x x 2 + y 2 d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ 0 1 x x 2 + y 2 d x

Aplicando a integral por substituição, temos:

u = x 2 + y 2 ∴ d u = 2 x d x

Logo, substituindo e desenvolvendo, encontramos:

= ∫ y 2 y 2 + 1 1 2 u d u ∴

= 1 2 ∫ y 2 y 2 + 1 1 u d u ∴

= 1 2 ln ⁡ u y 2 + 1 y 2 ∴

= 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 - 2 ln ⁡ y ∴

= 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 - ln ⁡ y

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 1 2 ∫ 0 1 x x 2 + y 2 d x   d y = ∫ 1 2 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 - ln ⁡ y d y ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 1 2 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 d y - ∫ 1 2 ln ⁡ y d y ∴

= 1 2 ∫ 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 d y - ∫ 1 2 ln ⁡ y d y ∴

= 1 2 ∫ 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 d y - ∫ 1 2 ln ⁡ y d y ∴

= ln ⁡ 5 + arctan ⁡ 2 - π 4 - 5 2 ln ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ln ⁡ 5 + arctan ⁡ 2 - π 4 - 5 2 ln ⁡ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y .
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla. ∬ Dy 2 e x y d A, D = x ,y0 ≤ y ≤ 4,0 ≤ x ≤ y }
Calcule as integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x