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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1r

Exercício 1. Calcule

(r) ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x 1 + x y com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y

Nesse caso vamos inverter a ordem de integração por ser mais simples integrar y a princípio, ou seja

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d y d x

Integrando com relação a y pelo método de substituição fazendo 1 + x y = u e pelo teorema fundamental do cálculo, temos...

∫ x 1 + x y d y = ln ⁡ 1 + x y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 x 1 + x y d y = ln ⁡ 1 + x 1 - ln ⁡ 1 + x 0

∫ 0 1 x 1 + x y d y = ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1

∫ 0 1 x 1 + x y d y = ln ⁡ 1 + x

Integrando o resultado em função de x pelo mesmo método...

∫ ln ⁡ 1 + x d x = 1 + x ln ⁡ 1 + x - 1

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y = ∫ 0 1 ln ⁡ 1 + x d x = 1 + 1 ln ⁡ 1 + 1 - 1 - 1 + 0 ln ⁡ 1 + 0 - 1

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y = 2 ln ⁡ 2 - 1 - 1 ln ⁡ 1 - 1

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y = 2 ln ⁡ 2 - 1 + 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y = 2 ln ⁡ 2 - 1 + 1

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