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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1l

Exercício 1. Calcule

(l) ∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x y e x 2 y com x variando de 0 a 2 e y variando de 0 a 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y

Integrando com relação a x pelo método de substituição...

∫ x y e x 2 y d x = y ∫ e u 2 y d u

∫ x y e x 2 y d x = e x 2 y 2

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 x y e x 2 y d x = e 2 2 y 2 - e 0 2 y 2

∫ 0 2 x y e x 2 y d x = e 4 y - 1 2

Integrando o resultado em função de y pelo mesmo método...

∫ e 4 y - 1 2 d y = 1 2 ∫ e 4 y d y - ∫ 1 d y

∫ e 4 y - 1 2 d y = 1 2 e 4 y 4 - y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y = ∫ 0 1 e 4 y - 1 2 d y = 1 2 e 4 1 4 - 1 - 1 2 e 4 0 4 - 0

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y = 1 2 e 4 4 - 1 - 1 8

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y = e 4 - 5 8

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y = e 4 - 5 8

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