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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 2, Questão 1b

Utilize que

d 2 d x d y a r c t a n ( x / y ) = d d x ( - x x 2 + y 2 ) = d d y ( y x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

Para calcular

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x d y

e

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é calcular:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x d y

e

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y d x

Usando que

d 2 d x d y a r c t a n ( x / y ) = d d x ( - x x 2 + y 2 ) = d d y ( y x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

e

d d x a r c t g ( x ) = 1 x 2 + 1

e

d d x a r c t g ( x / a ) = 1 x 2 / a 2 + 1 * 1 a

= a x 2 + a 2

Passo 2

Vamos começar calculando

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x d y

Começando pela primeira integral

∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x

Usando o resultado que

d d x ( - x x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

Então,

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 1 ( - x x 2 + y 2 ) | x = 1 x = 0 d y

= ∫ 0 1 ( - 1 y 2 + 1 ) d y

Integrando temos que

= ∫ 0 1 ( - 1 y 2 + 1 ) d y

= - a r c t g ( y ) | y = 1 y = 0

= - 2 2

Passo 3

Agora, vamos calcular

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y d x

Começando pela primeira integral

∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y

Usando o resultado que

d d y ( y x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

Então,

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 1 ( y x 2 + y 2 ) | y = 1 y = 0 d x

= ∫ 0 1 ( 1 x 2 + 1 ) d x

Integrando temos que

= ∫ 0 1 ( 1 x 2 + 1 ) d x

= a r c t g ( x ) | y = 1 y = 0

= 2 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   a c i m a

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