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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 6 - Integrais Duplas. Questão 6.

6 - Calcule ∫ ∫ R x 2 y 2 d x d y , onde R é a região delimitada por y = x , y = 1 x e x = 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão foi bem direta com a gente, não é? O que temos que fazer é calcular a integral dupla da função x 2 y 2 limitada pela região R .

Mas essa região R é o que?

A região R é delimitada pelas equações das curvas y = x , y = 1 / x e x = 2 .

É essencial que sempre que temos uma região limitada por curvas assim, desenhar as curvas e visualizar a cara da nossa região R .

Logo, se plotarmos as curvas, temos a seguinte região.

Para adiantar, já tomei a liberdade de separar nossa região de integração R pois perceba que hora os limites em y é a curva verde y = x e hora é a curva azul y = 1 / x .

Já em x , hora os limites da região é a curva vermelha x = 2 com a curva verde e hora é a curva vermelha com a curva azul.

Ou seja, é necessário dividir a região para calcular a soma das integrais de cada região

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

Vamos definir os limites de integração para cada região.

Primeiro para a região roxa.

Podemos escrever que a variação da região no eixo y (na vertical) vai de - 1 a x e no eixo x (na horizontal) o maior valor é 1 e o menor é - 1 .

Dessa forma, podemos escrever a integral dessa parte como

∫ - 1 1 ∫ - 1 x x 2 y 2 d y d x

Para a região verde, a variação vertical da região R é vista entre a curva 1 / x e - 1 . Já a variação horizontal é vista como 1 a 2 .

Como a variação vertical diz respeito aos limites de integração d y e a variação horizontal diz respeito aos limites de integração d x , então

∫ 1 2 ∫ 1 / x - 1 x 2 y 2 d y d x

Por último, para a região rosa, os limites da região na horizontal são dados por duas curvas x = 2 e x = 1 / y e na vertical entre - 1 e - ∞ .

Com isso, nossa integral da região rosa é dada por

∫ - 1 - ∞ ∫ 2 1 / y x 2 y 2 d x d y

Agora resta a gente calcular as integrais!

Passo 3

Primeiro vamos calcular a integral da região roxa

∫ - 1 1 ∫ - 1 x x 2 y 2 d y d x

Integrando com relação a y podemos simplificar um pouquinho, logo temos

∫ x 2 y 2 d y → x 2 ∫ y - 2 d y

Pelo método de integração polinomial onde somamos 1 no seu expoente e dividimos a variável pelo resultado da soma anterior

x 2 ∫ y - 2 d y = x 2 y - 2 + 1 - 2 + 1

∫ x 2 y 2 d y = - x 2 y

Aplicando os limites de integração, temos

∫ - 1 x x 2 y 2 d y = - x 2 x - - x 2 - 1

∫ - 1 x x 2 y 2 d y = - x - x 2

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a x pelo mesmo método da integração polinomial.

∫ - x - x 2 d x = - x 1 + 1 1 + 1 - x 2 + 1 2 + 1

∫ - x - x 2 d x = - x 2 2 - x 3 3

Aplicando os limites de integração, temos

∫ - 1 1 - x - x 2 d x = - 1 2 2 - 1 3 3 - - - 1 2 2 - - 1 3 3

∫ - 1 1 - x - x 2 d x = - 1 2 - 1 3 + 1 2 - 1 3

Logo

∫ - 1 1 ∫ - 1 x x 2 y 2 d y d x = - 2 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Agora vamos calcular a integral da região verde

∫ 1 2 ∫ 1 / x - 1 x 2 y 2 d y d x

Concorda que já calculamos a integral dessa função com relação a y ? Então vamos aplicar os limites de integração direto

∫ 1 / x - 1 x 2 y 2 d y = - x 2 - 1 - - x 2 1 / x

∫ 1 / x - 1 x 2 y 2 d y = x 3 + x 2

Agora integramos o resultado com relação a x pelo método de integração polinomial, como calculamos anteriormente

∫ x 3 + x 2 d x = x 3 + 1 3 + 1 + x 2 + 1 2 + 1

∫ x 3 + x 2 d x = x 4 4 + x 3 3

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 1 2 x 3 + x 2 d x = 2 4 4 + 2 3 3 - 1 4 4 + 1 3 3

∫ 1 2 x 3 + x 2 d x = 16 4 + 8 3 - 1 4 - 1 3

Logo, a integral dessa região é dada como

∫ 1 2 ∫ 1 / x - 1 x 2 y 2 d y d x = 73 12

Interessante, não é? 😉

Passo 5

Por último, vamos calcular a integral da região rosa

∫ - 1 - ∞ ∫ 2 1 / y x 2 y 2 d x d y

Primeiro vamos integrar com relação a x

∫ x 2 y 2 d x → 1 y 2 ∫ x 2 d x

Pelo método da integração polinomial, temos

1 y 2 ∫ x 2 d x = 1 y 2 x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3 y 2

Aplicando os limites de integração

∫ 2 1 / y x 2 y 2 d x = 1 y 3 3 y 2 - 2 3 3 y 2

∫ 2 1 y x 2 y 2 d x = y - 5 3 - 8 y - 2 3

Com base nesse resultado, integramos com relação a y pelo mesmo método

∫ y - 5 3 - 8 y - 2 3 d y = 1 3 y - 5 + 1 - 5 + 1 - 8 3 y - 2 + 1 - 2 + 1

∫ y - 5 3 - 8 y - 2 3 d y = 8 3 y - 1 12 y 4

Aplicando os limites de integração

∫ - 1 - ∞ y - 5 3 - 8 y - 2 3 d y = 8 3 - ∞ - 1 12 - ∞ 4 - 8 3 - 1 - 1 12 - 1 4

Como sabemos lááá das propriedades de limites, uma fração onde o denominado tende ao infinito, o resultado é um número tão pequeno que tente a 0 , então

∫ - 1 - ∞ y - 5 3 - 8 y - 2 3 d y = 0 - 0 - - 8 3 - 1 12

∫ - 1 - ∞ y - 5 3 - 8 y - 2 3 d y = 8 3 + 1 12

Logo, nossa integral é

∫ - 1 - ∞ ∫ 2 1 / y x 2 y 2 d x d y = 11 4

Estamos chegando ao fim! 🤩

Passo 6

Como a região R é a soma das regiões verde, rosa e roxo, então a integral que buscávamos lá no início é a soma das integrais em módulo de cada “sub-região”, então

∫ ∫ R x 2 y 2 d x d y = 2 3 + 73 12 + 11 4

∫ ∫ R x 2 y 2 d x d y = 19 2

Logo a integral de x 2 / y 2 sob a região R é 19 / 2 !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ ∫ R x 2 y 2 d x d y = 19 2

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