Integrais Duplas sobre regiões gerais
Considere a região plana definida por
Sejam uma função contínua definida em , e .
a) Esboce e, ao lado, esboce o interior de (ou seja, o conjunto aberto obtido removendo-se de a sua fronteira).
b) Escreva a integral dupla na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a e depois com respeito a .
Passo 1
a) Problema bem objetivo: pegue a definição de e a desenhe!
Como é função de , nesse primeiro momento, vamos trocar as desigualdades por igualdades. Assim, temos que está entre as curvas e , certo? Então, só precisamos esboçar cada uma delas!
Se está entre e , vamos percorrer essa faixa de valores colocando na curva . Tá, e que curva é essa? Bom, como o está no expoente, basta fazer algo que comece crescendo devagar, e dispare a medida que cresce ;)
Passo 2
Show, agora temos que fazer para , beleza? Basta desenhar uma curva simétrica à do passo anterior em relação ao eixo , pois, para os mesmos valores de , teremos negativo:
Lembrando que essas curvas param quando atinge valor !
Tranquilo até agora?
Passo 3
E, para fechar a curva, basta colocar dois segmentos de reta, um para fechar em e outro em !
E esse é o contorno de ! Agora, temos que colocar as desigualdades de volta! Pense no seguinte: . Aí você pega seu dedo e coloca em cima da curva, beleza? Se estamos na curva de cima, temos que , então colocamos o dedo para baixo (menor que os valores da curva). E, estando na cura de baixo, temos , então subimos com o dedo (maior que a curva). Assim, a curva que traçamos aí em cima mais o interior dela! Esse macete ajuda muito na hora de ver regiões mais estranhas de integração ;)
Passo 4
Agora, o problema ainda pede pra tirarmos a fronteira de , ou seja, temos que esboçar apenas seu interior, certo? Então, só preencher, lembrando de excluir o contorno
Passo 5
b) Essa é tranquila! Nem pediram pra inverter a ordem de integração, né? Então, vamos lá, temos variando entre e , e variando entre as duas funções de , e . Assim, colocando primeiro em relação a e depois a (como deve ser, porque é função de !), temos:
É imediato mesmo, só pra você ficar feliz e ganhar o ponto :D
Resposta
a)Contorno: 
b)