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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1o

Exercício 1. Calcule

(o) ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x y x 2 + y 2 com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y

Integrando com relação a x pelo método de substituição fazendo u = x 2 + y 2 e consequentemente d u = 2 x d x ...

∫ x y x 2 + y 2 d x = y 2 ∫ u d u

y 2 ∫ u d u = y 2 · 2 3 u 3

∫ x y x 2 + y 2 d x = y 3 x 2 + y 2 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x = y 3 1 2 + y 2 3 - y 3 0 2 + y 2 3

∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x = y 3 1 + y 2 3 - y 4 3

Integrando o resultado em função de y pelo mesmo método...

∫ y 3 1 + y 2 3 - y 4 3 d y = 1 + y 2 5 15 - y 5 15

∫ y 3 1 + y 2 3 - y 4 3 d y = 1 + y 2 5 - y 5 15

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 1 y 3 1 + y 2 3 - y 4 3 d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y = 1 + 1 2 5 - 1 5 15 - 1 + 0 2 5 - 0 5 15

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y = 2 5 - 1 15 - 1 - 0 5 15

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y = 4 2 - 2 15

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y = 4 2 - 2 15

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