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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1m

Exercício 1. Calcule

(m) ∫ 1 e ∫ 1 e ln ⁡ y x y d y d x

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de ln ⁡ y x y com x variando de 1 a e e y variando de 1 a e .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 1 e ∫ 1 e ln ⁡ y x y d y d x

Integrando com relação a y pelo método de substituição...

∫ ln ⁡ y x y d y = 1 x ∫ ln ⁡ y y d y = 1 x ∫ u d u = u 2 2 x

∫ ln ⁡ y x y d y = ln 2 ⁡ y 2 x

Aplicando os limites de integração...

∫ 1 e ln ⁡ y x y d y = ln 2 ⁡ e 2 x - ln 2 ⁡ 1 2 x

∫ 1 e ln ⁡ y x y d y = 1 2 x

Integrando o resultado em função de x ...

∫ 1 2 x d x = ln ⁡ x 2

Aplicando os limites de integração...

∫ 1 e ∫ 1 e ln ⁡ y x y d y d x = ∫ 1 e ln ⁡ x 2 d x = ln ⁡ e 2 - ln ⁡ 1 2

∫ 1 e ∫ 1 e ln ⁡ y x y d y d x = 1 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 1 e ∫ 1 e ln ⁡ y x y d y d x = 1 2

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