UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV2 - 2022.1, Questão 3
Calcule onde e é a parte da esfera no primeiro octante, com orientação para fora.
Passo 1
Oiie, tudo certinho com você?
Esta é uma integral de fluxo, temos que calcular a seguinte expressão
em que e a superfície pelo qual o fluxo do campo vetorial está sendo calculado é pelo primeiro octante da seguinte esfera
A integral de um campo vetorial através de uma superfície pode ser calculada considerando a seguinte definição
Ou seja, precisamos encontrar uma parametrização para a nossa esfera e calcular todos os termos necessários acima, e utilizar as especificações de nossa superfície, para calcular os limites de integração! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro vamos usar a parametrização de uma esfera dada no formulário da prova como
em que usei pois temos uma esfera de raio . O professor também foi bom em nos dar
Portanto, a nossa integral toma a seguinte forma
Realizando o produto escalar, esta integral se torna
Muito bem! Precisamos agora determinar os limites de integração! E, para isso, vamos utilizar a informação dada de que estamos considerando o primeiro octante de nossa esfera! Bora lá!
Passo 3
O primeiro octante de uma esfera nos dá os seguintes limites de integração para as coordenadas e , em que é o ângulo polar e é o ângulo azimutal, temos que
Temos então que, usando o elemento de área como , podemos escrever que
As duas últimas integrais se eliminam, então temos que tudo isso se reduz à
Maravilha! Agora é utilizar as regras de integração conhecidas para obter o resultado! Vamos lá!
Passo 4
Integrando primeiro em , temos que
Resultando em
A integral restante é então
Vamos resolver ela no próximo passo, pois ela vai se expandir um pouco mais! Saca só!
Passo 5
Para integrais de seno elevados a uma potência maior que é conveniente dividir o integrando em um produto da forma
Se usarmos a relação de ângulo duplo para o seno, temos que
Ou seja, nosso integrando se reduz à
Se para a terceira integral usarmos a relação de ângulo duplo para o cosseno, temos que
temos que as nossas integrais se reduzem à
ou seja, precisamos resolver o seguinte conjunto de integrais
Agora ficou um pouco mais simples, não é? Se ligou que as relações de ângulo duplo salvam a gente nessas potências de funções trigonométricas? É bom se ligar! rsrs
Vamos terminar isso!
Passo 6
Para a primeira integral simplesmente que
para as outras duas usaremos que
Temos então que
da mesma forma, temos que
Portanto, a nossa integral resulta em
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!