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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 1, Questão 1i

Exercício 1. Calcule

(i) ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de x sin ⁡ x + y com x variando de 0 a π / 6 e y variando de 0 a π / 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y

Integrando com relação a x pelo método de integração por partes...

∫ x sin ⁡ x + y d x = - x cos ⁡ x + y - ∫ - cos ⁡ x + y d x

∫ x sin ⁡ x + y d x = - x cos ⁡ x + y - - sin ⁡ x + y

∫ x sin ⁡ x + y d x = - x cos ⁡ x + y + sin ⁡ x + y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x = - π 3 cos ⁡ π 3 + y + sin ⁡ π 3 + y - - 0 cos ⁡ 0 + y + sin ⁡ 0 + y

∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x = - π 3 cos ⁡ π 3 + y + sin ⁡ π 3 + y - sin ⁡ y

Integrando o resultado em função de y

∫ - π 3 cos ⁡ π 3 + y + sin ⁡ π 3 + y - sin ⁡ y d y = - π 3 sin ⁡ π 3 + y - cos ⁡ π 3 + y + cos ⁡ y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = ∫ 0 π 6 - π 3 cos ⁡ π 3 + y + sin ⁡ π 3 + y - sin ⁡ y d y

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = - π 3 sin ⁡ π 3 + π 6 - cos ⁡ π 3 + π 6 + cos ⁡ π 6 - - π 3 sin ⁡ π 3 + 0 - cos ⁡ π 3 + 0 + cos ⁡ 0

Simplificando...

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = - π 3 sin ⁡ π 2 - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ π 6 - - π 3 sin ⁡ π 3 - cos ⁡ π 3 + cos ⁡ 0

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = - π 3 + 3 2 - - π 3 3 2 - 1 2 + 1

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = - π 3 + 3 2 + π 3 3 2 + 1 2 - 1

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = 3 - 1 2 + 3 π 6 - π 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y = 3 - 1 2 + 3 π 6 - π 3

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