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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 2, Questão 1c

Esse resultado contradiz o teorema de Fubini/Tonelli?

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é verificar se o fato que

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x d y ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y d x

contradiz o teorema de Fubini/Tonelli.

Passo 2

O Teorema de Fubini/Tonelli diz que se

∫ ∫ X × Y | f ( x , y ) | d x d y   < ∞

Ou seja, a função precisa ser absolutamente integrável. Vamos verificar se é verdade.

∫ 0 1 ∫ 0 1 | ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) | d x d y

∫ 0 1 | ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) | d x = - ∫ 0 y ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x + ∫ y 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x

= - ∫ 0 y ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x + ∫ y 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x

= - ∫ 0 1 ( - x x 2 + y 2 ) | x = y x = 0 d y + ∫ 0 1 ( - x x 2 + y 2 ) | x = 1 x = y d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 ( y 2 y 2 ) d y + ∫ 0 1 ( - 1 1 + y 2 ) + ( y 2 y 2 ) d y

Simplificando:

= ∫ 0 1 ( 1 y ) d y + ∫ 0 1 ( - 1 1 + y 2 ) d y

Como

∫ 0 1 ( 1 y ) d y = l n ( y ) | y = 1 y = 0

= ∞

Passo 3

Podemos concluir que

∫ 0 1 ∫ 0 1 | ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) | d x d y = ∞

Ou seja, temos uma quebra na condição necessária para aplicarmos o teorema de Fubini.

Logo, esse resultado não contradiz o teorema de Fubini/Tonelli.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   a c i m a

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