6) Sem utilizar a regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso os mesmos não existam:

b) lim x → + ∞ ⁡ x 4 s e n 5 x + 2 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x 8 x 3 - 2 x s e n x + 3

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo aqui é calcular o limite de uma função que vamos chamar de f x , mas temos um porém! Não podemos usar a regra de L’Hôpital para calcular esses limites.

Evidenciando f x , temos

f x = x 4 s e n 5 x + 2 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x 8 x 3 - 2 x s e n x + 3

Então na verdade, vamos descobrir qual valor a função f x tende a assumir quando x tende ao infinito.

Mas então como podemos fazer isso? 🤔🤔

Não podemos fazer o denominador ir para 0 nem para quando aplicarmos o limite.

Então vamos começar dividindo em cima e em baixo por x 3 , que é o maior grau do denominador.

Entendeu? Bora ver como é na prática! 😎

Passo 2

Essa mudança não gera alteração na função pois estamos aplicando no numerador e no denominador.

f x = x 4 s e n 5 x + 2 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x x 3 8 x 3 - 2 x s e n x + 3 x 3

f x = x 4 s e n 5 x x 3 + 2 x 3 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x x 3 8 x 3 x 3 - 2 x s e n x x 3 + 3 x 3

Simplificando...

f x = x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3

Aplicando o limite em f x , vamos obter

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3

Uma das propriedades dos limites diz que l i m x → a f x g x = l i m x → a f x l i m x → a g x , ou seja

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x lim x → + ∞ ⁡ 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3

Entendeu essa parte? 😎

Passo 3

Calculando o limite de x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x para x → ∞ , sabemos que o limite de uma doma é igual a soma dos limites...

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + 2 - 3 cos ��� x x = lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 3 cos ⁡ x x

No limite de x s e n 5 x , vamos substituir 5 x = u e por consequência, x = 5 u . Já u deve tender a 0 pois

u → l i m x → + ∞ 5 x = 0

Ou seja...

lim u → 0 ⁡ 5 s e n u u = 5 lim u → 0 ⁡ s e n u u

Esse limite é muito especial pois para resolver ele, vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico de raio 1 .

Vamos fazer algumas relações entre algumas áreas dessa figura...

Dentro do mesmo círculo, tiramos três áreas para usar como análise.

Qual é a área verde? Essa área é um triangulo e como qualquer triangulo, sua área é o comprimento da base multiplicado pela altura dividido por 2 , ou seja

A 1 = 1 · s e n u 2 = s e n u 2

E a área laranja? Essa é a área de um setor circular que é calculado como o ângulo dividido por 2 π multiplicado pela área do circulo

A 2 = u 2 π π · 1 2 = u 2

Já a área vermelha segue o que falamos sobre a área verde...

A 3 = 1 · t g u 2 = t g u 2

Entendeu como chegamos nessas áreas? 👀

Passo 4

Agora perceba que a área verde é menor que a área laranja que por sua vez é menor que a área vermelha, ou seja

A 1 ≤ A 2 ≤ A 3

s e n u 2 ≤ u 2 ≤ t g u 2

Multiplicando tudo por 2 e substituindo t g u por s e n u cos ⁡ u , temos

s e n u ≤ u ≤ s e n u cos ⁡ u

Agora dividimos tudo por s e n u

s e n u s e n u ≤ u s e n u ≤ s e n u cos ⁡ u 1 s e n u

1 ≤ u s e n u ≤ 1 cos ⁡ u

Nesse momento vamos inverter as frações, mas pra isso, temos que inverter também os sinais de inequação

1 ≥ s e n u u ≥ cos ⁡ u

Perceba que se u por negativo, s e n u também será no intervalo de π 2 a - π 2 (contém nosso ponto de interesse).

Então não faz sentido deixar em modulo, logo

1 ≥ s e n u u ≥ cos ⁡ u

Substituindo u por 0 em cos ⁡ u , temos

1 ≥ s e n u u ≥ 1

Logo, pelo teorema do confronto, vemos que o limite de s e n u u é igual a 1 quando u tende a 0

Portanto

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x = 5 lim u → 0 ⁡ s e n u u = 5 · 1

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x = 5

Essa conta foi uma viajem, não é?

Mas relaxa, o pior já passou!

Passo 5

Continuando o cálculo dos limites...

O limite de 2 entra na propriedade do limite de uma constante, ou seja, resulta na própria constante.

lim x → + ∞ ⁡ 2 = 2

Já o limite de 3 cos ⁡ x x é obtido também pelo teorema do confronto, mas também podemos ver que como cos ⁡ x é limitado entre 1 , - 1 e x cresce até o infinito, uma fração com um numerador bem pequeno e um denominador muito grande resulta em um número muito pequeno, quase 0 , então...

lim x → + ∞ ⁡ 3 cos ⁡ x x = 0

Calculando o limite do denominador

lim x → + ∞ ⁡ 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3

Vamos separar pela soma dos limites

lim x → + ∞ ⁡ 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 8 - lim x → + ∞ ⁡ 2 s e n x x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3

O limite de 8 se encaixa no limite de uma constante, ou seja

lim x → + ∞ ⁡ 8 = 8

Já os limites de 2 s e n x x 2 e 3 x 3 se encaixam na ideia do limite de 3 cos ⁡ x x , ou seja, numerador pequeno e denominador muito grande...

lim x → + ∞ ⁡ 2 s e n x x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3 = 0

Tranquilo até aqui? 👍

Passo 6

Substituindo os resultados dos limites na fração dos limites, temos

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x lim x → + ∞ ⁡ 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3 = lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 3 cos ⁡ x x lim x → + ∞ ⁡ 8 - lim x → + ∞ ⁡ 2 s e n x x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 3 x 3

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x lim x → + ∞ ⁡ 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3 = 5 + 2 - 0 8 - 0 + 0 = 7 8

Como

lim x → + ∞ ⁡ x 4 s e n 5 x + 2 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x 8 x 3 - 2 x s e n x + 3 = lim x → + ∞ ⁡ x s e n 5 x + 2 - 3 cos ⁡ x x lim x → + ∞ ⁡ 8 - 2 s e n x x 2 + 3 x 3

Então chegamos à conclusão de que

lim x → + ∞ ⁡ x 4 s e n 5 x + 2 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x 8 x 3 - 2 x s e n x + 3 = 7 8

O limite que queremos é igual a 7 8 , ou seja, a função tende a esse valor quando x tende ao infinito!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 4 s e n 5 x + 2 x 3 - 3 x 2 cos ⁡ x 8 x 3 - 2 x s e n x + 3 = 7 8

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