UTFPR. Campus Ponta Grossa. Cálculo 1. Prova AV2 REOF. Questão 6a.
6) Sem utilizar a regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso os mesmos não existam:
a)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão foi pedido pra calcularmos um limite, mas sem usar a regra de L’Hôpital.
No caso, o limite que temos que calcular é dado por
Em outras palavras, temos que obter o valor que a função que está dentro do limite tende a admitir quando se aproxima de .
Parece difícil, não é? 👀
Mas sem L’Hôpital, como podemos fazer? 🤔
Primeiro vemos se substituímos por resulta em alguma coisa
Assim encontramos um problema! não é definido, então não podemos afirmar que o limite é .
E aí, tem ideia de como obter esse limite? 😎
Passo 2
O que podemos fazer é obter os limites laterais em torno de e ver se a função tende a um valor específico.
Nesse caso, consideramos o limite como uma função como
E substituímos por valores infinitesimamente próximos a tanto pela esquerda quanto pela direita .
Primeiro vamos escolher valores menores que mas bem próximos desse valor. ; e . Que tal?
Substituindo em , temos
Fazendo essas contas em uma calculadora arredondando para casas decimais, vamos obter
Agora substituindo em
Resultando em
Por último, substituindo em
Que resulta em
Assim vemos que a esquerda de , a função tende a um valor de aproximadamente , ou seja
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos fazer algumas aproximações pela direita, ou seja, para valores infinitesimamente maiores que . Por exemplo , e .
Começando por , fazendo essa substituição em , temos
Essa função resulta em
Continuando nossa aproximação para , vamos obter
Que resulta em
Por fim, substituindo por em , temos
Resultando em
Assim, vemos que quando nos aproximamos de pela direita, vemos que a função tende a um valor próximo de assim como pelo lado esquerdo!
Portanto, como então o limite existe e vale .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
