6) Sem utilizar a regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso os mesmos não existam:

a) lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 t g x 2 + x - 6 c o s s e c 2 x 2 - 4

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão foi pedido pra calcularmos um limite, mas sem usar a regra de L’Hôpital.

No caso, o limite que temos que calcular é dado por

lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 t g x 2 + x - 6 c o s s e c 2 x 2 - 4

Em outras palavras, temos que obter o valor que a função que está dentro do limite tende a admitir quando x se aproxima de 2 .

Parece difícil, não é? 👀

Mas sem L’Hôpital, como podemos fazer? 🤔

Primeiro vemos se substituímos x por 2 resulta em alguma coisa

2 2 + 3 2 - 10 t g 2 2 + 2 - 6 c o s s e c 2 2 2 - 4

4 + 6 - 10 t g 4 + 2 - 6 c o s s e c 2 4 - 4

0 t g 0 c o s s e c 2 0

Assim encontramos um problema! c o s s e c 2 0 não é definido, então não podemos afirmar que o limite é 0 .

E aí, tem ideia de como obter esse limite? 😎

Passo 2

O que podemos fazer é obter os limites laterais em torno de x = 2 e ver se a função tende a um valor específico.

Nesse caso, consideramos o limite como uma função como

f x = x 2 + 3 x - 10 t g x 2 + x - 6 c o s s e c 2 x 2 - 4

E substituímos x por valores infinitesimamente próximos a 2 tanto pela esquerda 2 - quanto pela direita 2 + .

Primeiro vamos escolher valores menores que 2 mas bem próximos desse valor. x = 1,9 ; x = 1,99 e x = 1,999 . Que tal?

Substituindo x = 1,9 em f x , temos

f 1,9 = 1,9 2 + 3 1,9 - 10 t g 1,9 2 + 1,9 - 6 c o s s e c 2 1,9 2 - 4

Fazendo essas contas em uma calculadora arredondando para casas decimais, vamos obter

f 1,9 = 2,546

Agora substituindo x = 1,99 em f x

f 1,99 = 1,99 2 + 3 1,99 - 10 t g 1,99 2 + 1,99 - 6 c o s s e c 2 1,99 2 - 4

Resultando em

f 1,99 = 2,194

Por último, substituindo x = 1,999 em f x

f 1,999 = 1,999 2 + 3 1,999 - 10 t g 1,999 2 + 1,999 - 6 c o s s e c 2 1,999 2 - 4

Que resulta em

f 1,999 = 2,188

Assim vemos que a esquerda de x = 2 , a função tende a um valor de aproximadamente 2,18 , ou seja

lim x → 2 - ⁡ f x ≅ 2,18

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer algumas aproximações pela direita, ou seja, para valores infinitesimamente maiores que 2 . Por exemplo x = 2,1 , x = 2,01 e x = 2,001 .

Começando por x = 2,1 , fazendo essa substituição em f x , temos

f 2,1 = 2,1 2 + 3 2,1 - 10 t g 2,1 2 + 2,1 - 6 c o s s e c 2 2,1 2 - 4

Essa função resulta em

f 2,1 = 2,499

Continuando nossa aproximação para x = 2,01 , vamos obter

f 2,01 = 2,01 2 + 3 2,01 - 10 t g 2,01 2 + 2,01 - 6 c o s s e c 2 2,01 2 - 4

Que resulta em

f 2,01 = 2,187

Por fim, substituindo x por 2,001 em f x , temos

f 2,001 = 2,001 2 + 3 2,001 - 10 t g 2,001 2 + 2,001 - 6 c o s s e c 2 2,001 2 - 4

Resultando em

f 2,001 = 2,187

Assim, vemos que quando nos aproximamos de x = 2 pela direita, vemos que a função tende a um valor próximo de 2,18 assim como pelo lado esquerdo!

lim x → 2 + ⁡ f x ≅ 2,18

Portanto, como lim x → 2 - ⁡ f x ≅ lim x → 2 + ⁡ f x então o limite existe e vale 2,18 .

lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 t g x 2 + x - 6 c o s s e c 2 x 2 - 4 ≅ 2,18

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 t g x 2 + x - 6 c o s s e c 2 x 2 - 4 ≅ 2,18

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