O valor do limite

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 2 x 1 a r c s e n 3 x 2

é:

Passo 1

Calculando esse limite, vamos inicialmente observar que aquele expoente ali não é nada gatinho, né?

Pra poder removermos o expoente no limite o que nós fazemos mesmo? Parabéns se você pensou em aplicar exponencial e ln.

lim x → 0 ⁡ exp ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 a r c s e n 3 x 2

lim x → 0 ⁡ exp ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x a r c s e n 3 x 2

Passo 2

Agora podemos aplicar nossa reguinha de L’Hospital que salva vidas!!

lim x → 0 ⁡ exp ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x a r c s e n 3 x 2

exp ⁡ lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x a r c s e n 3 x 2

exp ⁡ lim x → 0 ⁡ ln ' ⁡ cos ⁡ 2 x a r c s e n ' 3 x 2

exp ⁡ lim x → 0 ⁡ - s e n 2 x 1 - 9 x 4 3 x c o s 2 x

Passo 3

Agora aplicando a regra do produto

exp ⁡ - 1 3 × lim x → 0 ⁡ 1 - 9 x 4 c o s 2 x × lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x

Resolvendo esse limite lim x → 0 ⁡ 1 - 9 x 4 c o s 2 x

1 - 9 × 0 cos ⁡ 0   = 1 1 = 1

Logo ficamos com

exp ⁡ - 1 3 × lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x

Passo 4

Aplicando mais uma vez a regra de L’hospital

exp ⁡ - 1 3 × lim x → 0 ⁡ s e n ' 2 x x '

exp ⁡ - 1 3 × lim x → 0 ⁡ 2 c o s ⁡ ( 2 x ) 1

exp ⁡ - 2 3

= 1 e 2 3

Resposta

1 e 2 3

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