Um avião de caça sobrevoa uma cidade percorrendo uma trajetória retilínea conforme a figura baixo. Sua posição escalar sobre tal trajetória é uma função do tempo e , onde t é o tempo medido em minutos. A distância entre o caça e a cidade é dada por

1. Calcule os limites laterais

E em seguida decida sobre a existência de

2. Determine a velocidade escalar do avião para cada t real
3. Dada , encontre
4. Sabendo que , determine
5. Em quais instantes o avião se aproxima e em quais ele se afasta da cidade?

Obrigado por vir.

Para a)

Bom, temos já a nossa função, veja que quando por exemplo h tende a 0 pela esquerda temos um valor negativo e, portanto, menor que 1, e assim a função vale um valor. Já quando tende pela direita o valor é positivo e assim é maior que 1 usando a outra função.

Para o limite com 0 pela esquerda:

Substituindo, temos:

Veja que esse limite vai pro menos infinito quando com 0 indo pra 0. Bom, quando temos essa divergência podemos aplicar l’hospital. O que é? Quando derivamos em cima embaixo da função para verificarmos se há uma nova convergência. E o mais belo, o valor dessa derivada no ponto é o valor do limite no ponto.

Ou seja:

Ou então podemos derivar a própria função por partes. Por que? Por definição, sabemos que dois intervalos infinitesimalmente próximos, ou seja, quando a distância entre ambos h tende a 0, é chamado de derivada.

E veja que se t=1 termos um valor de . Como esperávamos.

Para b)

Nós já provamos essa derivada no item anterior. Acertamos dois passos num só, porque elas se conectam. Assim:

Para c)

Temos então:

E nos pedem para calcular sua derivada com relação ao z, isto é: . Bom, nós temos uma função composta, certo?! Nós temos uma função dentro da função quadrática, assim a derivada de uma função composta é a derivada pela regra de cadeia. Assim:

Para d)

Primeiro precisamos destrinchar essa questão. Temos que , assim:

Assim podemos fazer o que nos foi pedido: calcular .

A mesma regra que usamos na última questão será usada nessa também, isto é, a regra de cadeia. Mas veja que agora nós temos uma função de t, dentro da função de x, que está dentro da função quadrática. Confuso né?! Vamos resolver isso

Analisando a imagem, veja:

O avião se aproxima da cidade quando x=0. Lembra da função de x?

X será 0 quando:

E:

Assim se aproximará quando . E logo se afastará no tempo posterior a isso, certo? Ou seja

Obrigado por ficar até aqui, carinha. Até a próxima!