Calcule o seguinte limite:
Passo 1
A primeira coisa a fazer, como em todo limite, é substituir o valor da função no ponto:
Essa é uma indeterminação típica de L’Hôpital. Vamos então manipulá-la para aplicar a técnica.
Passo 2
Para poder aplicar a técnica, precisamos de uma indeterminação do tipo ou . Para chegar lá, vamos aplicar :
Aplicando a propriedade do peteleco, jogando o da potência para o produto:
Usando a propriedade do limite e continuidade, jogamos o limite para dentro da exponencial:
Agora vamos calcular esse limite de dentro e depois substituir seu valor na exponencial.
Passo 3
Substituindo o valor no ponto:
Para chegar em ou . Podemos jogar para baixo, dividindo:
Pronto, agora podemos aplicar L’Hôpital!
Passo 4
Para aplicar, vamos derivar em cima e em baixo:
Sendo:
E, pela regra da cadeia:
Ficando:
Substituindo tudo:
Passo 5
Ainda temos uma indeterminação, então vamos aplicar L’Hôpital novamente:
Sendo:
E, pela regra do produto:
Ficando:
Passo 6
Vish, indeterminação novamente! Vamos aplicar L’Hôpital de novo.
Sendo, pela regra do produto:
E, pela regra do produto novamente:
Substituindo no limite:
Passo 7
Essa é a resposta final? Não! Não podemos esquecer que esse limite aí é um expoente:
Essa é a resposta final!