Calcule, caso exista, o seguinte limite: lim x → π / 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x .

Passo 1

Substituindo direto o limite nós chegamos numa indeterminação de 0 0

Assim, para esse limite devemos usar aquele macete de exponencial e logaritmo.

a = e ln ⁡ a

lim x → π / 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = lim x → π / 2 - ⁡ e ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x

Vamos nos concentrar no limite que está no denominador:

lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x sec ⁡ x

Ao substituir x → π 2 - nessa situação chegamos numa indeterminação de - ∞ ∞ . Podemos usar L’Hospital nele:

lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ 5 π 2 - 5 x sec ⁡ x → L ' H lim x → π 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x ' 5 π 2 - 5 x sec ⁡ x tg ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ - 5 5 π 2 - 5 x 1 cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x = lim x → π 2 - ⁡ cos 2 ⁡ x x - π 2 sen ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ cos 2 ⁡ x x - π 2 ,       p o i s sen ⁡ π 2 = 1

Esse limite aí vai gerar indeterminação de 0 0 dessa vez. Não pode ficar assim, né? L’Hospital nele de novo.

lim x → π 2 - ⁡ cos 2 ⁡ x x - π 2 → L ' H lim x → π 2 - ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x 1 = 2 0 1 = 0

Enfim, temos o seguinte:

lim x → π 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x

= lim x → π 2 - ⁡ e ln ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = e 0

= 1

Resposta

lim x → π / 2 - ⁡ 5 π 2 - 5 x cos ⁡ x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln