Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Ver Teoria
Exercício 921234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909193949596979899100

Enunciado

UFSC – Lista 3.10 – 1e

Calcule

g) lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = 0 + no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 ∙ - ∞ ” :

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x → 1 - 1 - ∞ → 0 ∙ - ∞

Passo 2

Vamos multiplicar numerador e denominador por 1 + cos ⁡ x , sem alterar o limite:

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x ln ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x ln ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x ln ⁡ x lim x → 0 + ⁡ ( 1 + cos ⁡ x )

Perceba que lim x → 0 + ⁡ ( 1 + cos ⁡ x ) = 2 , mas lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x ln ⁡ x tem uma indeterminação do tipo “ 0 ∙ - ∞ “.

Passo 3

Agora, vamos tentar acabar com a indeterminação aplicando L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 sen 2 ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' 1 sen 2 ⁡ x ' = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen 4 ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - sen 3 ⁡ x 2 x cos ⁡ x

Repare que substituindo x = 0 + , ainda há indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ - sen 3 ⁡ x 2 x cos ⁡ x → - 0 3 2 ∙ 0 ∙ 1 → 0 0

Passo 4

Assim, para terminar de resolver o limite, vamos multiplicar numerador e denominador por x 2 , o que não altera o seu valor:

lim x → 0 + ⁡ - sen 3 ⁡ x 2 x cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x 2 sen 3 ⁡ x 2 x 3 cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x 2 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x 3

Veja que podemos fazer aparecer o limite fundamental, assim:

lim x → 0 + ⁡ - x 2 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x 3 = lim x → 0 + ⁡ - x 2 2 cos ⁡ x lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 3

Lembre-se do valor do limite fundamental, lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1 , para obter:

lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - x 2 2 cos ⁡ x = - 0 2 2 ∙ 1 = 0

Logo,

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ sen 2 ⁡ x ln ⁡ x lim x → 0 + ⁡ ( 1 + cos ⁡ x ) = 0 2 = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln