Para que valores de n   ∈ N e a ∈ R o limite

lim x → 0 ⁡ x - a x n - a n

existe?

Passo 1

Nessa questão aqui ela de início vai te assustar, mas depois que você entender realmente o que é pra fazer, vai tirar de letra. Note que ele pede pra gente verificar os valores de n e a pra esse limite existir, em outras palavras, esse limite NUNCA poderá dar indeterminação. Então, vamos fazer a análise para alguns casos.

Passo 2

Vamos supor que n = 1

lim x → 0 ⁡ x - a x n - a n = lim x → 0 ⁡ x - a x - a = 1

Opa, isso significa que quando n = 1 , esse limite vai existir para todo a ∈ R

Essa é a nossa primeira conclusão.

Passo 3

Agora vamos fazer n ≥ 2 e partir do princípio que a = 0

lim x → 0 ⁡ x - a x n - a 2 = lim x → 0 ⁡ 1 x n - 1 = ∞

Opa, isso implica dizer que não existe um valor limite, pois esse cara vai tender ao infinito.

Passo 4

Agora vamos fazer n ≥ 2 e partir do princípio que a ≠ 0

lim x → 0 ⁡ x - a x n - a n = lim x → 0 ⁡ x - a x 2 - a n = lim x → 0 ⁡ a a n = a 1 - n

Opa, isso diz pra gente que o limite tem um valor. Essa é a nossa terceira conclusão, ele existe.

Resposta

  1. Se n = 1, limite existe para todo a ∈ R
  2. Se ≥ 2 e a = 0 , o limite não existe
  3. Se n ≥ 2   a ≠ 0 , o limite existe

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