Calcule o limite
Passo 1
Reescrevendo usando propriedades do logarítimo natural
Esse limite ai parece complicado, não é mesmo? Mas bem, a gente consegue dar uma reduzida na dificuldade dele se lembrarmos de uma propriedade do logarítimo natural:
Ta, mas e daí? Como isso me ajuda? Ajuda se a gente definir , quer ver? Saca só:
Podemos reescrever o limite então como:
Ou ainda:
Então se a gente conseguir achar o limite:
Achamos o limite inicial, beleza? Vamos partir dai então.
Passo 2
Realizar L’Hospital no novo limite obtido
Opa, agora o limite ficou mais tranquilo um pouco. Até porque, conseguimos elimintar o expoente . Em troca, olha só o que ganhamos:
Olha só, olha lá! Uma indeterminação típica de L’Hospital. Derivando em cima e em baixo então vamos ter:
Ok ok, ainda ta complicado, eu sei! Até porque apareceu uma derivada dentro do limite. Pra gente resolver isso, vamos lembrar que:
E como o limite é tendendo a , é interessante a gente guardar na cachola também que:
A relacionando as derivadas das funções hiperbólicas:
Ok, agora que a gente pegou isso tudo sobre as funções hiperbólicas, vamos derivar aquele maluco dentro do limite:
Então o limite vai ficar:
Passo 3
Resolver o último limite obtido
Pra resolver esse último limite obtido, vamos ter que usar as informações das funções hiperbólicas quando . Seja o limite:
Substituindo , vamos ter:
Outra indeterminação clássica de L’Hospital. Já que é assim, vamos derivar em cima e em baixo. O truque vai ser continuar a usar L’Hospital até que o denominador não zere. Realizando uma primeira vez:
Ta, não foi agora. Substituindo aí vamos continuar com uma indeterminação do tipo . Vamos tentar outra vez então? Bora lá:
Opa, agora sim da pra aplicar o limite pela substituição. Substituindo por , vamos ter:
É, eu sei, isso tudo pra dar . Mas acontece. Agora que finalmente calculamos o limite, vamos ver tudo que fizemos na ordem:
Se lermos de trás pra frente, chegamos à: