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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P2, 2020.2, questão 4b

Use a Regra de L'Hôspital e as propriedades para calcular os seguintes limites:(Justifique cada etapa do cálculo indicando as propriedades usadas).

(b) lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Para resolver essa questão vamos relembrar as propriedades de limites. Veja abaixo.

Além dessas, temos propriedades mais específicas, mostradas abaixo:

Você pode aprender mais sobre elas neste link.

Passo 2

Primeiramente, devemos verificar a indeterminação

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Indeterminação: ∞ - ∞

Agora vamos multiplicar o numerador e o denominador por ln ⁡ ( x ) e por ( x - 1 ) .

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x ( x - 1 ) ln ⁡ x - 1 ( x - 1 ) ln ⁡ x ( x - 1 )

Como os denominadores são iguais, temos

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - ( x - 1 ) ( x - 1 ) ln ⁡ x

Indeterminação: 0 0

Lembre-se que a regra de L’Hospital só pode ser aplicada quando obtivermos indeterminação do tipo 0 0 , beleza?

Derivando o numerador e o denominador obtemos

lim x → 1 ⁡ x 1 x + ln ⁡ ( x ) ∙ 1 - 1 + 0 x - 1 1 x + ln ⁡ ( x ) ∙ 1

lim x → 1 ⁡ 1 + ln ⁡ ( x ) - 1 x - 1 1 x + ln ⁡ ( x ) = lim x → 1 ⁡ 1 + ln ⁡ ( x ) - 1 1 - 1 x + ln ⁡ ( x ) = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ ( x ) 1 - x - 1 + ln ⁡ ( x )

1 x = x - 1

Indeterminação: 0 0

Podemos então derivar novamente

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ ( x ) 1 - x - 1 + ln ⁡ ( x ) = lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 x 2 + 1 x

Substituindo o limite

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 x 2 + 1 x = 1 1 + 1 = 1 2

Prontinho, até mais!

Resposta

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln