Calcule o seguinte limite usando a forma apropriada da regra de L’Hôpital (Deve exibir as formas indeterminadas):

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Temos que

lim x → ∞ ⁡ e x + x = ∞

lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Então no nosso limite vamos cair numa indeterminação ∞ 0 .

Passo 2

Não é uma indeterminação muito frequente, mas o procedimento é o mesmo que pras indeterminações 1 ∞ e 0 0 .

Vamos fazer o seguinte:

e x + x 1 x = e ln ⁡ e x + x 1 x = e 1 x ln ⁡ e x + x

Aplicando o limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = lim x → ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ e x + x

Jogando o limite pra dentro da exponencial:

e lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x

Beleza, então agora temos que calcular

lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Que é uma indeterminação ∞ / ∞ , onde podemos aplicar l’Hôpital! :)

Passo 3

Então vamos lá, aplicando a regra de l’Hôpital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → ∞ ⁡ 1 e x + x e x + 1 1 = lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x

Deu ∞ / ∞ de novo, então vamos de l’Hôpital mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1

Já ficou meio na cara que isso vai dar 1 , mas pra ser rigoroso podemos usar l’Hôpital uma última vez:

lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1 = lim x → ∞ ⁡ e x e x = 1

Passo 4

Lembrando que esse limite é aquele que estava dentro da exponencial, então o nosso resultado final vai ser:

e lim x → ∞ ⁡ 1 x ln ⁡ e x + x = e 1 = e

Resposta

e

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln