UnB - Cálculo I - Listas - Lista 11- Questão 4a
O limite é uma indeterminação do tipo . Ele pode ser calculado, observando-se que
Vimos no primeiro exercício que . Assim, como a função exponencial é contínua, temos que
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
Passo 1
Ooi, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…
Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??
Então bora!!
A questão quer que resolvamos e além disso, a questão já nos direciona para uma nova forma de resolver indeterminações, essa nova forma se baseia principalmente em uma propriedade do logaritmo que diz:
Pois bora resolver devagarinho, como devemos começar??
Passo 2
Primeiro passo que vamos fazer é tentar resolver o limite normalmente, ou seja, apenas substituindo os valores.
Como vocês podem ver encontramos uma indeterminação, uma vez que não podemos determinar se o valor é ou . Dessa forma teremos que utilizar artifícios matemáticos para conseguir sair dessa indeterminação.
Passo 3
Vocês lembram de uma propriedade do logaritmo que foi citado no passo 1? Belezura, vamos utilizar essa ideia agora!
Como é uma constante, podemos jogar o limite para o expoente da seguinte forma:
Agora a nossa próxima missão é resolver o
Passo 4
Xuxus, para resolver o limite anterior vamos utilizar a regra de L’Hôspital , entretanto, iremos manipular algebricamente a nossa expressão, isso porque se utilizássemos a regra de L’Hôspital de primeira iríamos recair novamente em uma indeterminação. Logo,
Ainda não é a resposta final hein, temos que substituir esse valor encontrado na expressão do passo 3. Bora lá!
Passo 5
Recapitulando pessoal… Temos que encontrar o valor de e até então já sabemos que . Agora só falta a cereja do bolo que é substituir esse valor no expoente de . Portanto, temos que:
Eu sei que a questão parece complicadinha, mas eu te garanto que a prática vai te tornar um expert nesse assunto. Não desista!
Beijinhos :)