3a) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista:
Passo 1
Show, bora lá! Pra começar, como todo bom limite que só precisa de um carinho pra ser resolvido, vamos substituir pra ver o que acontece:
Eita! Indeterminação já de cara? Pois é, então pra resolver, vamos precisar mexer um pouco no limite. Por sorte, tem uma propriedade maneiríssima dos logaritmos que da pra gente usar aqui:
Se fizermos , temos:
E substituindo no limite, já aproveitando as propriedades deles:
Opa, maravilha, então temos um outro limite talvez um pouco mais tranquilo de resolver, ele vai ser:
Mão na massa agora pra resolver ele!
Passo 2
Olha, a princípio esse novo limite também da indeterminação, saca só:
Mas a gente consegue se livrar dessa indeterminação dando uma manipulada bem sagaz. Olha só o que eu vou fazer:
No final das contas, é a mesma função, né não? Mas se eu substituir pra ver o que acontece, o tipo de indeterminação muda! Olha só:
E opa! Essa indeterminação é clássica de L’Hospital! Podemos então derivar em cima e em baixo e resolver o limite!
Viu? Não só a indeterminação sumiu logo de cara como terminamos de resolver o limite!
Passo 3
Agora a gente junta o que achou. Se:
Então:
E feshow!