UFES– Cálculo 2 – P1 – Questão 5
O valor de , onde é:
- -1
- 1
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema perguntou qual é o limite dessa coisa aqui
Nosso primeiro instinto é substituir por infinito e avaliar, não é? Vai que funciona! Então vamos lá:
É, pelo visto não rola fazer assim! Encontramos uma indeterminação do tipo e precisamos manipular essa expressão para obtermos algo do tipo
Ou também
E assim aplicar o teorema de l’Hôpital! Esse teorema nos diz que quando temos um limite onde temos uma indeterminação desse tipo ali em cima podemos derivar a função do numerador e do denominador (de forma independente, deriva em cima e deriva embaixo) e avaliar novamente o limite
Ao avaliar novamente esse limite é bem provável que a indeterminação tenha sido levantada, mas se der algo como ou , deriva de novo! Até dar um limite que fuja dessas indeterminações!
Ou em último caso é preciso manipular um pouco mais a função! Mas aí são poucos casos, vai lá no nosso guia que tem vários exemplos!
Vamos primeiro manipular nossa expressão para ter algo como ou , mas relaxa! Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Precisamos manipular essa expressão aqui
E aqui vai uma dica: se tiver uma multiplicação por (ou por ) podemos trocar isso por uma divisão de – ou de se estivermos falando em – ok? Isso provavelmente vai levantar a indeterminação de multiplicar por para uma divisão por , aí teremos um caso para L’Hôpital!
Tranquilo até aqui?
Trocando então a multiplicação por por uma divisão por :
E vamos agora avaliar novamente o limite no infinito:
Beleza?
Passo 3
Nossa missão é derivar em cima e embaixo para depois avaliar o limite novamente!
E queremos
A função de cima é
Vou reescrever esse argumento do :
E derivar:
Beleza?
Agora vamos derivar a de baixo:
Essa foi tranquila né?
Passo 4
Agora vamos juntar os resultados no nosso limite:
Agora vamos substituir as funções pelas suas respectivas derivadas (e simplificar o que der!):
Podemos agora avaliar o limite no infinito novamente:
A alternativa correta é a (e)!
Ufa! Terminamos! Levantamos a indeterminação na primeira vez que derivamos as funções! Mas pode ser que em outros exercícios isso ocorra na segunda ou terceira vez, fica de olho!
Mas por enquanto é isso!
Espero ter ajudado! Até próxima!