O valor de lim n → ∞ ⁡ a n , onde a n = n ln ⁡ 1 + n n é:

  1. 0
  2. -1
  3. e
  4. 1 e
  5. 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema perguntou qual é o limite dessa coisa aqui

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ 1 + n n

Nosso primeiro instinto é substituir n por infinito e avaliar, não é? Vai que funciona! Então vamos lá:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ 1 + n n = ∞ . ln ⁡ ∞ ∞ = ∞ . ln ⁡ 1 = ∞ . 0

É, pelo visto não rola fazer assim! Encontramos uma indeterminação do tipo 0 . ∞ e precisamos manipular essa expressão para obtermos algo do tipo

∞ ∞

Ou também

0 0

E assim aplicar o teorema de l’Hôpital! Esse teorema nos diz que quando temos um limite onde temos uma indeterminação desse tipo ali em cima podemos derivar a função do numerador e do denominador (de forma independente, deriva em cima e deriva embaixo) e avaliar novamente o limite

lim n → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = ⏝ ∞ ∞ o u 0 0 lim n → ∞ ⁡ f x ' g x '

Ao avaliar novamente esse limite é bem provável que a indeterminação tenha sido levantada, mas se der algo como 0 / 0 ou ∞ / ∞ , deriva de novo! Até dar um limite que fuja dessas indeterminações!

Ou em último caso é preciso manipular um pouco mais a função! Mas aí são poucos casos, vai lá no nosso guia que tem vários exemplos!

Vamos primeiro manipular nossa expressão para ter algo como 0 / 0 ou ∞ / ∞ , mas relaxa! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos manipular essa expressão aqui

n ln ⁡ 1 + n n

E aqui vai uma dica: se tiver uma multiplicação por n (ou por x ) podemos trocar isso por uma divisão de 1 n – ou de 1 x se estivermos falando em x – ok? Isso provavelmente vai levantar a indeterminação de multiplicar por para uma divisão por 0 , aí teremos um caso para L’Hôpital!

Tranquilo até aqui?

Trocando então a multiplicação por n por uma divisão por 1 / n :

n ln ⁡ 1 + n n = ln ⁡ 1 + n n 1 n

E vamos agora avaliar novamente o limite no infinito:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ 1 + n n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + n n 1 n = 0 0   → L ´ H ô p i t a l !

Beleza?

Passo 3

Nossa missão é derivar em cima e embaixo para depois avaliar o limite novamente!

f n g n = ln ⁡ 1 + n n 1 n

E queremos

f n ' g n '

A função de cima é

f n = ln ⁡ 1 + n n

Vou reescrever esse argumento do l n :

f n = ln ⁡ 1 + n n = ln ⁡ 1 n + 1

E derivar:

f ' n = 1 1 n + 1 .   - 1 n 2

Beleza?

Agora vamos derivar a de baixo:

g n = 1 n

g ' n = - 1 n 2

Essa foi tranquila né?

Passo 4

Agora vamos juntar os resultados no nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + n n 1 n = 0 0   → L ´ H ô p i t a l !

Agora vamos substituir as funções pelas suas respectivas derivadas (e simplificar o que der!):

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + n n 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 n + 1 .   - 1 n 2 - 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 n + 1

Podemos agora avaliar o limite no infinito novamente:

lim n → ∞ ⁡ 1 1 n + 1 = 1 1 ∞ + 1 = 1 0 + 1 = 1

A alternativa correta é a (e)!

Ufa! Terminamos! Levantamos a indeterminação na primeira vez que derivamos as funções! Mas pode ser que em outros exercícios isso ocorra na segunda ou terceira vez, fica de olho!

Mas por enquanto é isso!

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

e )   1

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln