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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 11- Questão 5c

Calcule cada um dos limites abaixo.

c )   l i m x → 0 + ( 1   +   1 x ) x

Passo 1

Faala, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, mas aqui a gente transforma ela em algo mais tranquilo hahaha bora, juntos??

Bom a questão é bem breve em relação a pergunta, deseja saber qual é o limite de ( 1   +   1 x ) x quando x se aproxima de 0 + . O que devemos fazer primeiro??

Passo 2

Essa questão é aquela típica que devemos utilizar algum artifício matemático para conseguir solucionar o problema. Iremos reescrever a expressão como:

( 1   +   1 x ) x   = e l n ( 1   + 1 / x ) x   = e x l n ( 1   + 1 / x )    

Lembrando que isso se dá devido a propriedades do logaritmo, esse modo de resolução também foi abordado na questão 4 dessa mesma lista.

Passo 3

Assim,

l i m x → 0 + ( 1   +   1 x ) x   =   l i m x → 0 + e x l n ( 1   + 1 / x )

Como a função exponencial é contínua podemos passar o limite em questão para o expoente da seguinte forma:

l i m x → 0 + ( 1   +   1 x ) x   =   l i m x → 0 + e x l n ( 1   + 1 / x )   = e   l i m x → 0 + x l n ( 1   + 1 / x )  

Passo 4

Agora vamos descobrir o valor do l i m x → 0 + x l n ( 1   + 1 / x ) , esse valor é fundamental para conseguirmos finalizar nosso item.

Iremos utilizar a regra de L’Hôspital que diz :

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a   f ' ( x ) g ' ( x )

Logo, utilizando essa regra no limite em questão, temos:

l i m x → 0 + x l n ( 1   + 1 / x )   = l i m x → 0 + ( l n ( 1   + 1 / x ) ) ' ( 1 x ) '   = l i m x → 0 + - 1 x ( x + 1 ) - 1 x ²   = l i m x → 0 + x x + 1   =   0 1   =   0      

Cuidado!! Não terminamos ainda, calma!

Precisamos substituir esse valor encontrado na expressão que tínhamos anteriormente no passo 3.

Passo 5

Agora sim,vamos finalizar o nosso item. Como já sabemos que l i m x → 0 + x l n ( 1   + 1 / x )     =   0 , podemos afirmar:

l i m x → 0 + ( 1   +   1 x ) x   = e   l i m x → 0 + x l n ( 1   + 1 / x )     = e 0   = 1  

Ufa! Eu diria que essa questão foi bem trabalhosa. Conseguiu acompanhar direitinho? Espero que sim!

Beijinhos galera, se cuidem! :)

Resposta

l i m x → 0 + ( 1   +   1 x ) x = 1  

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln