Calcule o limite
Passo 1
Muita calma nessa hora! Cara, vou te dar uma super dica: todo limite com alguma função elevada a outra, pode desconfiar de que teremos usar L’Hopital para matar o problema .
Mas sabemos já que para aplicar o , precisamos de uma indeterminação do tipo...
Se você aplicar o valor do limite na função que estamos avaliando...
Tome cuidado! Pois o valor desse limite não é ! Pois o que temos lá em cima do é uma função que varia também, então nada podemos afirmar sobre o limite, ok? Temos que considerar o como uma indeterminação, portanto.
Porém, essa indeterminação não é a que a gente precisa . Todavia, podemos chegar à indeterminação que a gente quer...
Vamos chegar aí fazendo alguns trabalhos algébricos. Então me siga!
Passo 2
Como temos uma potenciação de funções... Vamos utilizar uma propriedade de potenciação legal que nos fala...
Assim, podemos colocar aquele expoente multiplicando por propriedade logarítmica...
Aplicando o limite...
Cara, como a única coisa que depende de é o expoente, podemos calcular um limite lá em cima e falar que...
Sacou?
Então primeiro calculemos o limite desse expoente e depois substituímos aqui nesse limite que vou chamar de principal. ;)
Passo 3
Calculando então o limite do expoente...
Bem, infelizmente... Se substituirmos o ponto nele, ainda não vai dar a indeterminação que queremos...
Repare que novamente não podemos considerar , pois é o produto de duas funções e não sabemos o que acontece na realidade. Então é uma indeterminação. Não a que a gente quer, mas ainda é uma indeterminação.
Lembre-se de que uma coisa do tipo...
(Ah! Só um segredinho de aluno para aluno, fazer essa igualdade aí em cima não é certo matematicamente, pois infinito é só um conceito, fiz isso só para te mostrar como conseguiremos o que queremos ok?)
Enfim, esse último é justamente a indeterminação que buscamos, então...
E agora, com a indeterminação que queremos, podemos aplicar o Teorema...
Passo 4
Derivando em cima e aplicando a regra da cadeia...
Agora derivando em baixo também...
Como quando vai para o infinito o cosseno do inverso dele vai para (que não é ;), então podemos fazer...
Fazendo o truque de colocar o produto como uma fração ...
Cara, repare que esse limite parece um limite conhecido: o limite fundamental trigonométrico (). A diferença é que temos que ter um no lugar desse na fração, então façamos o seguinte: Multiplicamos e dividimos por ...
Agora, se fizermos uma substituição...
E esse é justamente o resultado do limite do expoente que buscávamos...
Passo 5
Voltando para o limite que realmente queremos e vimos lá no passo ...
Eis que surge o resultado !