Lista de Exercícios – Semana 11 – Cálculo I -
5) Calcule cada um dos limites abaixo.
i)
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Nesse exercício nos deparamos com um limite um pouco estranho
A primeira coisa que a gente faz é testar o que acontece quando substituímos aquele na nossa função:
EPA! Nos deparamos com uma indeterminação... mas calma lá, essa indeterminação é bem manjada. Geralmente a gente usa a regra de L’Hospital e essa é a nossa tentativa aqui. A primeira coisa que a gente tem que fazer é manipular essa expressão para obter uma outra forma dela em que a gente pode aplicar a regra, ok? Então partiu fazer isso!!
Passo 2
Bom quando a gente se depara com uma indeterminação do tipo a gente usa a propriedade dos logs para reescrever a nossa expressão:
Então a nossa expressão é:
Aí agora a gente tem outra propriedade dos logs:
Fazendo isso na nossa função, temos
Ficou feio né? Mas olha o que acontece se a gente tentar tirar o limite com essa função daí:
E aí caímos em uma indeterminação do tipo ... EBA! Aqui podemos usar a regra de L’Hospital!
Passo 3
O limite que a gente tem que trabalhar agora é
A gente viu que o limite
Então usamos a regra de L’Hospital para resolver esse cara:
Precisamos, então, calcular essas derivadas aí!
A primeira delas a gente usa a regra da cadeia, então temos:
A segunda derivada é:
Passo 4
A regra de L’Hospital nos deu:
Usando as derivadas que calculamos temos:
Aplicando o valor de nos deparamos com
AAAAH! Outra indeterminação... mas a gente nem esquenta, é só usar a regra de L’Hospital mais uma vez!
Passo 5
Nosso limite que precisamos resolver agora é:
A regra de L’Hospital nos permite escrever:
Usando as derivadas temos
Aplicando o limite a gente obtém
Como temos, finalmente
OBA! Nos livramos dos problemas... A gente só não pode se esquecer que essa não é a nossa resposta. O que a gente estava calculando era:
E aí a gente conseguiu ver que aquele limite no expoente deu , então temos na verdade:
Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?