Regra de L’Hôspital
Calcule:
Passo 1
A primeira coisa é substituir o valor do , mas como nesse caso o “valor” não é um número, e sim o infinito, basta avaliarmos os limites separados de cada função.
Temos que:
Portanto, temos uma indeterminação do tipo . O jeito é transformar numa razão, pois nossa única alternativa é manipular algebricamente a função para que possamos aplicar L’Hôspital num tipo de indeterminação conveniente.
Passo 2
Podemos reescrever esse limite como
Como
Teremos uma indeterminação do tipo , e poderemos finalmente aplicar L’Hôspital.
Passo 3
Derivando em cima e em baixo:
Repare que continua tendo a indeterminação, porque
Passo 4
Como, neste caso, está tendendo a infinito, podemos colocar a maior potência de em evidência.
A vantagem que isso proporciona é que ele gera várias divisões por potências de , que vão acabar dando todas zero, por conta do estar crescendo para o infinito e além.
Passo 5
Pelas propriedades de limite