Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Passo 1

Caramba, esse limite é gigante, vamos ver o que acontece com ele: lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x ⟹ 1 e ⋅ 1 ∞ ∞  

Hummm. Não ficou muito claro se é uma das indeterminações de L’Hôpital, mas vamos dar uma manipulada na expressão para ver se conseguimos chegar em zero sobre zero ou infinito sobre infinito.

Para tal, vamos aplicar e e ln: lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = l i m x → 0   e ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Jogando o limite para dentro: … = e l i m x → 0 ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Vamos analisar esse limite de dentro. Usando a propriedade do log:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 e x 1 + x 1 x

= l i m x → 0 1 x 2 ln ⁡ x + 1 e x = l i m x → 0 ln ⁡ x + 1 e x x 2 ⟹ ln ⁡ 1 0 ⟹ 0 0

Que é uma das indeterminações que queríamos. Vamos então derivar em cima e em baixo:

l i m x → 0 ln ⁡ x + 1 e x x 2 = l i m x → 0 ln ⁡ x + 1 e x ' x 2 ' = l i m x → 0 e x x + 1 ⋅ x + 1 e x ' 2 x = l i m x → 0 e x x + 1 ⋅ - ⅇ - x x 2 x =

l i m x → 0 - x 2 x x + 1 = l i m x → 0 - 1 2 x + 1 = - 1 2

Substituindo direito, já que não há mais indeterminação:

l i m x → 0 e 2 x 2 x + 1 3 = e 0 2 ⋅ 1 3 = - 1 2

Passo 2

Lembre-se que esse limite está dentro de uma exponencial:

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = e l i m x → 0 e 2 x 2 x + 1 3 = e - 1 / 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = e - 1 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln