Utilize a regra de L’Hôpital para calcular os limites indicados abaixo:
Passo 1
Vamos lá mostrar a indeterminação:
Temos indeterminação na potência, vamos transformar isso numas das indeterminações de L’Hôpital para poder aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:
Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:
Substituímos no limite:
Passo 3
Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:
Olhando para aquele limite lá dentro da exponencial:
Esse limite não está perfeitinho para aplicar L’Hôpital. Vamos aplicar o que a gente aprendeu anteriormente a jogar uma das funções para baixo:
Agora podemos aplicar L’Hôpital sem problemas.
Passo 4
Para o numerador usamos a regra da cadeia:
Para o denominador temos a derivada fundamental:
Substituindo tudo sem dó:
Passo 5
É, essa está pedindo L’Hôpital de novo. Repetimos então:
Agora basta voltar no limite inicial, onde analisamos o expoente:
UFA!