Achar a área da região delimitada pelas curvas y = tan(x), y = 2 * sen(x) com - π / 3 ≤ x ≤ π / 3

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essas curvas aqui

y = tan ⁡ x ,   y = 2 sin ⁡ x

- π 3 ≤ x ≤ π 3

E pediu para calcularmos a área da região delimitada por elas! Então nosso primeiro passo é fazer o esboço dessas curvas para ver onde elas se encontram!

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar fazendo o esboço das curvas y = tan ⁡ x ,   y = 2 sin ⁡ x

A primeira é a tangente e a segunda o seno esticado sua imagem para [ - 2,2 ]

Precisamos dividir essa região em duas: de - π 3 at�� 0 com a tangente em cima e o seno embaixo. E depois de 0 até π 3 com o seno em cima e a tangente embaixo. Beleza?

Tudo bem até aqui?

Agora é #partiu integrar

Passo 3

Integrando em x temos

∫ - π / 3 0 tan ⁡ x - 2 sin ⁡ x d x + ∫ 0 π 3 2 sin ⁡ x - tan ⁡ x d x  

Para integrar a tangente vamos reescrever ela como sin ⁡ x cos ⁡ x   e usar a técnica de substituição simples com u = cos ⁡ x

- ln ⁡ cos ⁡ x + 2 cos ⁡ x - π 3 0 + - 2 cos ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x 0 π 3

Tranquilo?

Agora é só aplicar os limites de integração

- ln ⁡ cos ⁡ 0 + 2 cos ⁡ 0 - - ln ⁡ cos ⁡ - π 3 + 2 cos ⁡ - π 3 + - 2 cos ⁡ π 3 + ln ⁡ cos ⁡ π 3 - [ - 2 cos ⁡ 0 + ln ⁡ cos ⁡ 0 ]

Simplificando temos

= 2 + 2 ln ⁡ 1 3 + 2

= 4 + ln ⁡ 1 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

4 + ln ⁡ 1 3

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