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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFPB – Cálculo 2 – Listas Prof. Otoniel Nogueira – Lista 04 – Questão 6

Achar a área da região delimitada pelos gráficos de y = x - 2 ,   x + y = 2 e x + 2 y = 5

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa área aqui

Quando integramos procuramos a função que está mais em cima e a que está mais embaixo. No nosso caso entre x = - 1 e x = 2 temos a curva verde y = 5 2 - x 2 por cima e a azul y = 2 - x embaixo. Já entre x = 2 e x = 3 temos que por cima segue sendo a curva verde, mas embaixo temos a curva vermelho y = x - 2 .

Então vamos precisar separar nossa região em duas integrais!

Então aqui atenção: vamos começar dividindo nossa região em duas, e depois é partiu integrar!

Bora começar?

Passo 2

Nossa região precisa ser dividida em duas

∫ - 1 2 5 2 - x 2 - 2 - x d x   + ∫ 2 3 5 2 - x 2 - x - 2 d x

= ∫ - 1 2 1 2 + x 2 d x   + ∫ 2 3 5 2 - x 2 - x - 2 d x

Tudo bem até aqui? Agora é partiu integração!

Passo 3

Integrando temos

∫ - 1 2 1 2 + x 2 d x   + ∫ 2 3 5 2 - x 2 - x - 2 d x = x 2 + x 2 4 - 1 2 + 2 3 x - 2 3 2 - x 2 4 + 5 2 x 2 3

Agora é só aplicar os limites de integração

= 1 + 1 - - 1 2 + 1 4 + 2 3 - 3 2 4 + 15 2 - - 1 + 5

= 4 6 + 21 6 = 25 6

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

25 6

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. ∫ - 1 3 3 - 2 xd x