UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFSC - Lista 2.1 - Áreas entre curvas, Questão P2e
Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.
e) , e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de , e , que é essa região aqui em amarelo:
Repare que ela é limitada verticalmente por (curva em vermelho) e (reta em verde) e horizontalmente por e . Dessa forma, nossa integral de área tem a forma:
Onde, nesse caso, , e .
Vamos lá!
Passo 2
Montando nossa integral de área, temos:
Como temos um produto complicadinho de resolver na integral, vamos precisar usar a integração por partes pra facilitar nossa vida. Lembra dela? Tem esse formato aqui:
Vamos escolher uma função fácil de derivar para ser o e uma função fácil de integrar para ser o . Nesse caso, podemos fazer:
Substituindo na fórmula da integral por partes, junto com nossos intervalos de integração, vai ficar:
Arrumando um pouquinho:
Assim, integrando, vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando, temos a nossa área:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉